Etapa 2: 01.01.2008 - 31.12.2008

Raport anual de activitate - 2008

S I N T E Z A

Obiectivul 1: Formularea teoriei gauge generale cu grupul structural

1.1. Obtinerea ecuatiilor de structura ale grupului gauge

Grupul are dimensiunea egala cu m ( m -1)/2 unde m = p + q , iar grupul este ne-abelian, având dimensiunea . Generatorii infinitezimali ai grupului sunt notati prin , iar cei ai lui prin . În general, , unde sunt operatorii momentului cinetic, iar noteaza generatorii de spin în reprezentarea considerata. Ecuatiile de structura ale grupului sunt [2, 7]:

, (1.1a)

, (1.1b)

, (1.1c)

unde

este metrica Lorentz m -dimensionala, iar sunt constantele de structura ale grupului . În cazul particular al grupului constantele de structura coincid cu tensorul complet anti-simetric , cu proprietatea . Ecuatia (1.1c) arata ca grupul are structura unui produs direct. Pentru a descrie câmpul gravitational vom alege grupul gauge , care are dimensiunea . Deci, vom avea , sau notând , vom scrie etc.

1.2. Definirea derivatei gauge invarianta

Definim derivatei gauge invarianta asociata grupului de simetrie locala prin relatia [2]

, (1.2)

unde sunt potentialele gauge care descriu câmpul gravitational, iar sunt potentialele gauge interne asociate grupului . Cantitatile si noteaza constantele de cuplaj ale interactiunilor gravitationala si respectiv a câmpurilor gauge interne.

În cazul particular al grupului , potentialele corespund starilor de izospin, iar se descompun în doua parti: conexiunea de spin si tetrazii .

1.3. Obtinerea expresiilor generale ale tensorilor asociati potentialelor gauge

Pentru a determina tensorii asociati câmpurilor gauge si , vom calcula comutatorul . Folosind ecuatiile de structura (1.1) obtinem [7]:

(1.3)

Daca folosim definitia generala

, (1.4)

si identificam ecuatiile (1.3) si (1.4), atunci rezulta

, (1.7)

. (1.6)

În cazul particular SU(2) SO(1,4), alegem , cu si notam ; atunci ecuatia (2.6) devine[10]:

, (1.7)

. (1.8)

Pentru un model Riemann-Cartan, cantitatile sunt interpretate drept componentele torsiunii , iar - ale curburii spatiului-timp.

Obiectivul 2: Obtinerea ecuatiilor de câmp pentru potentialele gauge

2.1. Construirea integralei actiunii pentru potentialele gauge

Potentialele gauge , descriu câmpul gravitational, iar - proprietatile interne (izoapinul, hipersarcina, etc.) ale sistemului fizic considerat. Tetrazii pot fi folositi pentru a defini un tensor metric:

, (2.1)

unde este metrica Lorentz.

Cu ajutorul potentialelor gauge construim integrala actiunii pentru modelul considerat. Aceasta contine doi termeni, unul corespunzator sectorului si celalalt sectorului :

. (2.2)

În aceasta expresie am folosit definitiile:

, (2.3)

unde noteaza inversul lui , adica

. (2.4)

În cele ce urmeaza vom alege si , unde sunt matricele lui Pauli. Constanta gravitationala G din (2.2) este singura cantitate dimensionala, deoarece vom alege sistemul de unitati .

2.2. Obtinerea ecuatiilor de câmp prin metoda variationala

Impunem conditia (principiul variational) în raport cu potentialele , , . Atunci, obtinem urmatoarele ecuatii de câmp

, (2.5)

, (2.6)

unde este tensorul energie-impuls [3, 7] al câmpurilor gauge

, (2.7)

si respectiv

. (2.8)

În cazul grupului , ecuatiile (2.5) determina starile de izospin, cele din (2.6) corespund ecuatiilor lui Einstein, iar (2.8) arata ca avem un spatiu fara torsiune. Ele sunt cunoscute sub denumirea de ecuatiile Einstein-Yang-Mills (EYM). Prin integrarea ecuatiilor EYM se obtin potentialele gauge ca solutii.

2.3. Formularea conditiei de auto-dualitate

Se pot obtine mai usor solutii ale ecuatiilor de câmp daca impunem conditia de auto-dualitate pentru tensorul câmpurilor gauge. Pentru aceasta definim tensorii duali

(2.9)

(2.10)

unde , este tensorul Levi-Civita complet anti-simetric ( ) si

. (2.11)

Atunci, conditia de auto-dualitate înseamna satisfacerea relatiilor:

. (2.12)

Acestea sunt ecuatii diferentiale de ordinul întâi, spre deosebire de ecuatiile EYM care sunt de ordinul al doilea si obtinerea solutiilor pentru ele este mai simpla. Orice solutie a ecuatiilor de auto-dualitate (2.12) este si solutie a ecuatiilor EYM dar nu si invers.

Obiectivul 3: Aplicatii la cazul simetriei sferice

3.1. Obtinerea unor solutii cu simetrie sferica

În cazul simetriei sferice spatiul-timp Minkowski este dotat cu metrica

. (3.1)

Vom prezenta trei exemple de solutii obtinute pe baza rezultatelor anterioare.

1) Solutii cu constanta cosmologica.

Consideram cazul când câmpurile gauge au forma [2, 3, 7] :

, (3.2)

si

(3.3)

unde A, B, C, U, V, Z si W sunt functii numai de variabila r . În plus, vom parametriza câmpurile gauge astfel:

, (3.4)

unde u si w sunt, de asemenea, functii numai de r . Atunci. Considerând constrângerile , unde N ( r ) este o noua functie pozitiv definita, obtinem:

(3.5)

unde am folosit si unitati . Aceste ecuatii admit urmatoarea solutie (Schwarzschild-Reissner-Nordström-de-Sitter ) de tipul black hole color [4,5,6]:

(3.6)

unde este constanta cosmologica. Ecuatiile (3.5) admit si solutia (Schwarzschild-deSitter) auto-duala:

. (3.7)

Spre deosebire de acesta, solutia (3.6) nu este auto-duala.

Prin contractia , grupul trece în grupul Poincaré cuplat cu grupul izospinului. Solutiile ecuatiilor de câmp sunt date în acest caz de (3.6) si (3.7) în care trebuie sa luam . Deci, teoria gauge Poincaré nu admite o constanta cosmologica.

2) Model bazat pe grupul gauge cuantic

Grupul gauge gravitational G are generatorii , , considerati ca operatori diferentiali si care comuta între ei [12]:

. (3.8)

Generatorii grupului SU (2) sunt notati prin si satisfac relatii de comutare ca în (1.1b). Câmpurile gauge interne si gravitationale cu valori în algebra Lie sunt:

. (3.9)

Alegem aceste câmpuri gauge cu simetrie sferica, de forma [1]

(3.10)

unde U, V sunt functii numai de r , iar g este constanta de cuplaj gravitationala. Atunci, ecuatiile de câmp corespunzatoare sunt [1] :

, (3.11)

. (3.12)

Solutia generala a ecuatiei (3.12) este [1] :

, (3.13)

unde a este o constanta arbitrara de integrare. Alegând a = - 2 Gm , solutia (3.13) conduce la metrica Schwarzschild [1] :

. (3.14)

Corespunzator, din (3.11) obtinem doua solutii pentru potentialele gauge SU (2):

. (3.15)

Aceste rezultate arata ca, în cazul considerat, exista numai cuplaj gravitational între câmpuri, dar nu si cuplaje interne SU (2), deoarece solutiile obtinute nu contin constanta de cuplaj a lui SU (2).

Modelul prezentat permite cuantificarea câmpului gravitational prin metoda integralei functionale [10] ca în cazul teoriilor gauge interne. Deoarece grupul gauge G se considera aici ca o simetrie pur interna, proprietatea de re-normare este asigurata pentru modelul nostru gauge de unificare [1,10].

3 ) Solutie pentru câmpurile gauge pe spatii-timp necomutative.

Presupunem ca spatiul-timp este ne-comutativ, având coordonatele care satisfac urmatoarele relatii de comutare:

, (3.16)

unde sunt parametrii constanti ai modelului. Vom alege cazul ne-comutativitatii spatiu-spatiu [2], si vom presupune ca singurele componente ne-nule sunt , unde este un parametru constant de deformare. Pentru descrierea diferitelor câmpuri gauge folosim produsul star , definit prin relatia [2, 3] :

. (3.17)

Presupunem apoi ca grupul gauge este si notam câmpurile (potentialele) gauge pe spatiul-timp ne-comutativ prin . Definim metrica spatiului-timp ne-comutativ prin relatia:

. (3.18)

Folosind aplicatia Seiberg-Witten [2, 3, 13], obtinem urmatoarele corectii [2, 3]:

- pentru câmpurile gauge SU (2) interne (cu solutia comutativa (3.7)):

(3.19)

- pentru metrica Schwarzschild:

,

, (3.20)

,

,

unde . Aceste solutii sunt utile pentru determinarea unor caracteristici cuantice ale gaurilor negre ( black holes ) cum ar fi temperatura, entropia, etc.

3.2. Stabilirea conditiilor ca ecuatiile de câmp sa admita solutii ne-singulare

Construim integrala actiunii câmpurilor gauge sub forma [2, 14] :

, (3.21)

unde si sunt doi invarianti ai teoriei, iar si sunt multiplicatori Lagrange introdusi pentru a asigura existenta unor solutii fara singularitati. Potentialul satisface conditiile:

. (3.22)

O alegere corespunzatoare a functiilor si este [14]:

, , , . (3.23)

Cunoscând metrica spatiului-timp, cu relatiile (3.22) si (3.23) determinam functiile , si potentialul .

3.3 Construirea solutiilor gauge nesingulare .

Vom considera cazul metricii Robertson-Walker si vom presupune . Notam si corespunzator . Atunci, impunând principiul variational în raport cu si , obtinem urmatoarele conditii care asigura existenta solutiilor ne-singulare:

, (3.24)

unde este parametrul de deformare [3, 4] al algebrei Lie [vezi (1.8)]. Aceste ecuatii admit solutia periodica:

, (3.25)

unde este o constanta de integrare si este frecventa de oscilatie a câmpului gravitational descris de câmpurile gauge si . Aceasta solutie nu are singularitati si este valabila pentru cazul unei constante cosmologice negative: . Pentru a trata cazul unei constante cosmologice pozitive, trebuie sa folosim grupul anti-de-Sitter .

Este posibil sa se obtina si alte solutii ne-singulare, presupunând o dependenta de timp a „constantei” cosmologie. În mod analog se pot determina solutii ne-singulare în cazul teoriilor gauge cu grupuri interne de simetrie.

Bibliografie

A. Lucrari proprii

în reviste indexate ISI

1. G. Zet, V. Manta, C. Popa: Gauge Model Based on Group , Chin. Phys. Lett. Vol. 25 No.2 (2008) p. 433-435 (pdf)
2. M. Chaichian, A. Tureanu, G. Zet: Corrections to Schwarzschild solution in non-commutative gauge theory of gravitation, Phys. Lett. B660 (2008) p. 573-578 (pdf)

în reviste indexate în baze de date internationale

3. G. Zet: Unified Gauge Theory on Non-commutative space-time, Rom. J. Phys. Vol. 53 , No. 5-6 (2008) p. 635-644 (pdf)
4. G. Zet, C. Popa: Spherical Gauge Gravitational Field and Spontaneous Symmetry Breaking , Rom. J. Phys. Vol. 53 , No. 5-6 (2008) p. 621-634 (pdf)
5. G. Zet, C. Popa, D. Partenie: Gauge Symmetry of Gravitation, Bul. Inst. Politehnic Ia s i, Tom LIII ( LVII ), fasc. 1-2, Sectia Matematica. Mecanica Teoretica. Fizica (2007) p.103-114 (pdf)
6. B. Ciobanu, I. Radinschi: Modeling the Electric and Magnetic Fields in Rotating Universe, Rom. J. Phys. Vol. 53 , No. 1-2 (2008) p. 405-416 (pdf)
7. G. Zet, V. Manta : Gauge Theory with as structure group, Bul. Inst. Politehnic Iasi, acceptata pentru publicare 2008 (pdf)

prezentate la conferinte nationale si internationale

8. G. Zet: General relativistic analog solutions for Yang-Mills theory on noncommutative space-time, Conferinta Nationala de Fizica Teoretica (CNFT3) 10-13 Iunie 2008, Busteni, Romania (pdf)
9. G. Zet: U(2) gauge theory on non-commutativity geometry, Second Workshop on Quantum Gravity, 22-24 Septembrie 2008, Lusofona University, Lisbon
10. V. Chiritoiu, G. Zet: Renormalization in Quantum Gauge Theory, Conferinta Nationala de Fizica, 10-13 Septembrie 2008, Bucuresti-Magurele

B. Lucrari ale altor autori

11. M Blagojevic: Gravitation and Gauge Symmetry. IOP Publishing 2008
12. N. Wu: Renormalizable Quantum Gauge Theory of Gravity, Commun. Theor. Phys. 38 (2002) p. 151-156
13. N.Seiberg, E. Witten : String Theory and Noncommutativity Geometry JHEP 9909 (2008) 032

C. Lucrari proprii publicate anterior

14. G. Zet, C.D. Oprisan, S. Babeti: Solutions without singularities in gauge theory of gravitation, Int. J. Mod. Phys. 15C (2004) p. 1031-1038

Sinteza etapei 2 in format PDF